Многогранник - геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Стороны граней называются ребрами многогранника, а концы ребер — вершинами многогранника.  Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани — правильные одинаковые многоугольники и все многогранные углы при вершинах равны. Существует 5 видов правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

             Простейшим среди многогранников является тетраэдр (четырёхгранник – от греческого «тетра», т.е. четыре). Его  четыре гра­ни – равносторонние треугольники. Четыре – это наименьшее число гра­ней, отделяющих часть трёхмерного  пространства. Тем не менее, тетраэдр обладает многими свойствами, харак­терными для однородных многогранников.  Все его грани суть правильные многоугольники, причём каждая отде­ляется ребром в точности от одной грани. Все многогранные углы тетра­эдра также равны между собой.

             Куб, или гексаэдр (шестигранник – от греческого «гекса», т.е. шесть) – са­мый общеизвестный и широко исполь­зуемый многогранник. Все шесть его граней – квадраты, сходящиеся по два вдоль каждого ребра и по три в каж­дой вершине. 

             Октаэдр (восьмигранник – от греческого «окта», т.е. восемь), составлен­ный из восьми правильных треугольников, его противоположные грани лежат в параллельных плоскостях. Иоганн Кеплер (1571-1630)  в своём этюде «О снежинке» высказал такое замечание: «Среди правильных тел самое первое, начало и родитель остальных – куб, а его, если позволительно так сказать, супруга – октаэдр, ибо у октаэдра столько углов, сколько у куба граней».

              Икосаэдр (двадцатигранник – от греческого «икос», т.е. двадцать), составленный из двадцати правильных треугольников. Икосаэдр – одно из пяти тел, по простоте следующее за тетраэдром и октаэдром. Их объединя­ет то обстоятельство, что гранямикаждого являются равносторонние тре­угольники. 

             И за­гадочный додекаэдр (двенадцатигранник – от греческого «додека», т.е. двенадцать), со­ставленный из двенадцати правильных пя­тиугольников. В известном смысле додекаэдр пред­ставляет наибольшую привлекатель­ность среди тел, соперни­чая с икосаэдром, который почти ему не уступает (а быть может, в чём-то и превосходит). 

               

             Эйлером была выведена формула, связывающая число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) любого выпуклого многогранника простым соотношением:

В + Г = Р + 2.

               Отношение количества вершин правильного многогранника к количеству рёбер одной его грани равно отношению количества граней этого же многогранника к количеству рёбер, выходящих из одной его вершины. У тетраэдра это отношение равно 4:3, у гексаэдра и октаэдра — 2:1, а у додекаэдра и икосаэдра — 4:1.

Правильный многогранник может быть комбинаторно описан символом Шлефли {p, q}, где:

               p — число рёбер в каждой грани;

               q — число рёбер, сходящихся в каждой вершине.

Из определения правильного многогранника следует, что его гранями могут быть лишь треугольники, четырехугольники и пятиугольники. Действительно, докажем например, что грани не могут быть правильными шестиугольниками. По определению правильного многогранника, в каждой его вершине должны сходиться не менее трех граней. Однако, в правильном шестиугольнике углы равны 120°. Получается, что сумма трех плоских углов выпуклого многогранного угла равна 360°, а это невозможно, так как эта сумма всегда меньше 360°. Тем более грани правильного многогранника не могут оказаться многоугольниками с большим числом сторон.

               Выясним, сколько граней может сходиться в вершине правильного многогранника. Если все его грани – правильные треугольники, то к каждой вершине могут прилегать не более пяти треугольников, так как иначе сумма плоских углов при этой вершине будет не менее 360°, что, как мы убедились, невозможно. Итак, если все грани правильного многогранника – правильные треугольники, то к каждой вершине прилегают три, четыре или пять треугольников. Аналогичными рассуждениями убеждаемся, что в каждой вершине правильного многогранника, грани которого – правильные четырехугольники и пятиугольники, сходятся ровно три ребра.

                Докажем теперь, что существует только один многогранник заданного типа с фиксированной длиной ребра. Рассмотрим, например, случай, когда все грани – правильные пятиугольники. Предположим противное: пусть существует два многогранника, все грани которых – правильные пятиугольники со стороной a, а все двугранные углы в каждом многограннике равны между собой. Отметим, что необязательно все двугранные углы одного многогранника равны двугранным углам другого многогранника: именно это мы сейчас и докажем.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 8.1.2

            Как мы показали, из каждой вершины каждого многогранника выходит три ребра. Пусть из вершины А одного многогранника выходят ребра AB, AC и AD, а из вершины A1 другого – ребра A1B1, A1C1 и A1D1. ABCD и A1B1C1D1 – правильные треугольные пирамиды, так как у них равны ребра, выходящие из вершин A иA1, и плоские углы при этих вершинах. Отсюда следует, что двугранные углы одного многогранника равны двугранным углам другого. Значит, если мы совместим пирамиды ABCD и A1B1C1D1, то совместятся и сами многогранники. Значит, если существует правильный многогранник, все грани которого – правильные пятиугольники со стороной a, то такой многогранник единственный.

           Аналогично рассматриваются остальные многогранники. В том, случае, когда все грани – треугольники и к каждой вершине примыкают четыре или пять треугольников, следует воспользоваться леммой 8.1. Из нее следует, что концы ребер, выходящих из одной вершины, лежат в одной плоскости и служат вершинами правильного четырех- и пятиугольника. Теорема доказана.

           

             Выдающийся математик Герман Вейль высоко оценил роль симметрии в современной науке: "Симметрия, как бы широко или узко мы не понимали это слово, есть идея, с помощью которой человек пытался объяснить и создать порядок, красоту и совершенство".

             Мы живем в очень красивом и гармоничном мире. Нас окружают предметы, которые радуют глаз. Например, бабочка, кленовый лист, снежинка. Посмотрите, как они прекрасны. Вы обращали на них внимание? Сегодня мы с вами прикоснемся к этому прекрасному математическому явлению – симметрии. Познакомимся с понятием осевой, центральной и зеркальной симметрий. Будем учиться строить и определять симметричные относительно оси, центра и плоскости фигуры. Слово “симметрия” в переводе с греческого звучит как “гармония”, означая красоту, соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей. Издавна человек использовал симметрию в архитектуре. Древним храмам, башням средневековых замков, современным зданиям она придает гармоничность, законченность.

              В наиболее общем виде под "симметрией" в математике понимается такое преобразование пространства (плоскости), при котором каждая точка M переходит в другую точку M' относительно некоторой плоскости (или прямой) a, когда отрезок MM' является перпендикулярным плоскости (или прямой) a и делится ею пополам. Плоскость (прямая) a называется при этом плоскостью (или осью) симметрии. К фундаментальным понятиям симметрии относятся плоскость симметрии, ось симметрии, центр симметрии. Плоскостью симметрии P называется такая плоскость, которая делит фигуру на две зеркально равные части, расположенные друг относительно друга так, как предмет и его зеркальное отражение.

 

Центральная симметрия

              Симметрия относительно точки или центральная симметрия – это такое свойство геометрической фигуры, когда любой точке, расположенной по одну сторону центра симметрии, соответствует другая точка, расположенная по другую сторону центра. При этом точки находятся на отрезке прямой, проходящей через центр, делящий отрезок пополам.

 

               Правильные многогранники и их симметрия.

                По аналогии с правильными плоскими фигурами - многоугольниками - в пространстве определяют правильные многогранники: многогранник называется правильным, если все его грани - равные друг другу правильные многоугольники, а все его двугранные углы равны между собой. Мы знаем, что существует правильный многоугольник с любым количеством сторон, т.е. число видов правильных многоугольников - бесконечно. Однако для правильных многогранников это не так. Еще Евклид доказал, что существует всего пять видов правильных многогранников. Предложение, которым он завершает свои “Начала”, звучит так: “Вот я утверждаю, что кроме упомянутых пяти тел нельзя построить другого тела, заключенного между равносторонними и равноугольными равными друг другу многоугольниками.”